Das Laplace Experiment, welches nach dem französischen Mathematiker und Physiker Pierre-Simon Laplace benannt wurde, ist eine Form des Zufallsexperiments. Es unterscheidet sich von anderen Zufallsexperimenten dahin gehend, dass bei dieser Art von Experiment alle Ergebnisse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. In diesem Beitrag erfährst du alles, was du über das Laplace Experiment wissen musst.
Laplace Experimente „einfach erklärt“
Unter einem Laplace Experiment wird ein Zufallsexperiment verstanden, bei dem alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben aufzutreten.
Definition: Laplace Experiment
In der Statistik, genauer in der Wahrscheinlichkeitstheorie, wird ein Zufallsexperiment, bei dem alle möglichen Ergebnisse bekannt und gleich wahrscheinlich sind, als Laplace Experiment bezeichnet. Dadurch unterscheidet sich das Laplace Experiment von anderen Experimenten, weil die Ergebnisse dort nicht bekannt oder die Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich sind. Das Laplace Experiment bildet häufig die Grundlage für einfache Wahrscheinlichkeitsrechnungen, kann aber nur in bestimmten Fällen angewendet werden.
In einem Laplace Experiment wird die bestimmte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A durch das Verhältnis der günstigsten Ergebnisse zu den gesamten möglichen Ergebnissen bestimmt.
Die Laplace Formel lautet:
Formel: Laplace Experiment
Definition: Laplace-Wahrscheinlichkeit
Während das Laplace Experiment nur die Art des Experiments beschreibt, gibt es noch die Laplace Wahrscheinlichkeit. Diese zeigt dir, wie du die Chance eines bestimmten Ergebnisses berechnest, wenn die Ergebnisse bei einem Experiment alle gleich wahrscheinlich sind.
Beispiel: Laplace-Wahrscheinlichkeit
Beim Werfen eines Würfels hat jede Zahl von eins bis sechs die gleiche Chance gewürfelt zu werden. Mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit findest du heraus, wie wahrscheinlich es ist, dass du die Zahl zwei würfelst.
Die Wahrscheinlichkeit eine 2 zu würfeln, liegt bei 16,6 %.
Merkmale
Das Laplace-Experiment zählt zu den Zufallsexperimenten, weshalb es auch die vier Merkmale eines Zufallsexperiments übernimmt. Das letzte Merkmal betrifft nur das Laplace Experiment und keine anderen Zufallsexperimente. Durch dieses Merkmal unterscheiden sich Laplace Experimente von anderen Zufallsexperimenten.
- Unsicherheit des Ergebnisses: Das genaue Ergebnis ist vor der Durchführung noch ungewiss, denn wenn man das Experiment wiederholt, kann das Ergebnis unterschiedlich ausfallen.
- Wiederholbarkeit: Eine mehrfache Wiederholung des Experiments unter denselben Bedingungen ist möglich. Die möglichen Ergebnisse treten bei jeder Wiederholung mit bestimmten Wahrscheinlichkeiten auf.
- Abgeschlossenheit: Jedes Zufallsexperiment hat eine definierte Menge von möglichen Ergebnissen, die auftreten kann. Die Gesamtheit von allen Ergebnissen wird Ereignisraum genannt.
- Vorhersehbare langfristige Häufigkeiten: Obwohl das genaue Ergebnis eines Zufallsexperiments nicht vorhergesagt werden kann, kann man langfristig die relative Häufigkeit der Ergebnisse berechnen.
- Gleiche Wahrscheinlichkeit: Das Laplace Experiment ist das einzige Zufallsexperiment, bei dem jedes Ergebnis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftritt.
Günstige und mögliche Ergebnisse
Die Begriffe „günstige Ergebnisse“ und „mögliche Ergebnisse“ werden verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses zu berechnen.
Unter einem möglichen Ergebnis werden alle möglichen Resultate verstanden, die ein Experiment haben kann. Die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse wird als n bezeichnet.
Ein günstiges Ergebnis ist ein spezifisches Resultat, das für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses relevant ist. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse wird als ɡ bezeichnet.
Um die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses zu berechnen, werden die günstigen Ergebnisse durch die möglichen Ergebnisse geteilt.
Beispiel: mögliches Ergebnis
Bei einem fairen Würfelwurf gibt es sechs mögliche Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Also n=6.
Beispiel: günstiges Ergebnis
Bei der Frage, wie wahrscheinlich es ist bei einem fairen Würfelwurf, eine gerade Zahl zu würfeln, gibt es drei günstige Ergebnisse: 2, 4 und 6. Also ist ɡ=3.
Beispiele für Laplace Experimente
Es gibt viele Beispiele, anhand derer man das Laplace Experiment erklären kann.
Münzwurf
Der Münzwurf zählt zu den klassischen Laplace Beispielen. Beim Münzwurf geht es um eine Münze mit zwei Seiten, einmal Kopf (K) und einmal Zahl (Z). Bei der Münze ist wichtig, dass sie nicht verfälscht ist und beide Seiten mit gleicher Wahrscheinlichkeit oben landen können.
- Mögliche Ergebnisse: Die Anzahl der möglichen Ergebnisse beim Münzwurf ist 2: Kopf (K) und Zahl (Z).
- Günstige Ergebnisse: Um die Anzahl der günstigen Ergebnisse zu berechnen, muss man überlegen, was man berechnen will. Es gibt einmal die Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass Zahl oben landet. Hier wäre das einzige günstige Ergebnis „Zahl“. Die zweite Wahrscheinlichkeit, die berechnet werden kann, ist, dass Kopf oben landet, wobei hierbei das einzig günstige Ergebnis „Kopf“ ist.
- Berechnung der Wahrscheinlichkeit: Um die Wahrscheinlichkeit einer der beiden Optionen auszurechnen, muss man die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse teilen.
Beispiel: Münzwurf
Berechnung der Wahrscheinlichkeit, „Zahl“ zu werfen:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit, „Kopf“ zu werfen:
Beide Ergebnisse haben eine Wahrscheinlichkeit von 50 %.
Glücksrad
Stell dir vor, du stehst vor einem Glücksrad, welches in acht gleich große Sektoren unterteilt ist. Jeder dieser Sektoren wurde unterschiedlich farblich markiert, sodass es einen roten (R), einen blauen (B), einen grünen (g), einen gelben (G), einen orangen (O), einen schwarzen (S), einen pinken (P) und einen weißen (W) Sektor gibt.
- Mögliche Ergebnisse: Bei 8 Sektoren liegt die Anzahl der möglichen Ergebnisse bei 8.
- Günstige Ergebnisse: Um die Anzahl der günstigen Ergebnisse zu berechnen, musst du zunächst überlegen, was du berechnen willst. Es gibt die Möglichkeit zu berechnen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass das Glücksrad auf einer bestimmten Farbe landet. Oder du kannst ausrechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Glücksrad auf einer Primärfarbe landet, mit den günstigen Ergebnissen „rot“, „blau“ und „grün.
- Berechnung der Wahrscheinlichkeit: Um die Wahrscheinlichkeit einer dieser Möglichkeiten auszurechnen, müssen die günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse geteilt werden.
Beispiel: Glücksrad
Berechnung der Wahrscheinlichkeit, im orangen Sektor zu landen:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit, in einem Sektor einer Primärfarbe zu landen:
Die Wahrscheinlichkeit in einem bestimmten Sektor zu landen, liegt bei 12,5 %. Somit liegt die Wahrscheinlichkeit in einer Primärfarbe zu landen, wobei drei günstige Ergebnisse existieren, bei 37,5 % (=3×12,5 %).
Kartendeck
Wenn du eine Karte aus einem Kartendeck ziehst, handelt es sich dabei auch um ein Laplace Experiment, denn jede Karte hat dieselbe Wahrscheinlichkeit, gezogen zu werden.
- Mögliche Ergebnisse: Bei einem Kartendeck mit 32 Karten, existieren 32 mögliche Ergebnisse.
- Günstige Ergebnisse: Um die Anzahl der günstigen Ergebnisse zu berechnen, musst du überlegen, was du berechnen willst. Einerseits kannst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, eine bestimmte Karte zu ziehen. Alternativ kannst du berechnen, wie wahrscheinlich es ist ein bestimmtes Symbol zu ziehen (z. B.: Herz).
- Berechnung der Wahrscheinlichkeit: Um die Wahrscheinlichkeit dieser Möglichkeiten auszurechnen, müssen die günstigen Ergebnisse durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse dividiert werden.
Beispiel: Kartendeck
Berechnung der Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Karte zu ziehen:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Symbol zu ziehen:
Die Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Karte zu ziehen, liegt bei 3,125 %, da für jede Karte die Wahrscheinlichkeit bei 1 zu 32 liegt. Die Wahrscheinlichkeit, ein bestimmtes Symbol zu ziehen, liegt hingegen bei 25 %, da es hierbei 8 günstige Ergebnisse gibt.
Anwendbarkeit und Grenzen
Das Laplace Experiment kann dann angewendet werden, wenn man weiß, dass alle möglichen Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Da das in vielen realen Situationen jedoch nicht zutrifft, hat das Laplace Experiment auch Grenzen hinsichtlich seiner Anwendbarkeit.
| Anwendbarkeit | Grenzen |
| Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie | Ungleich wahrscheinliche Ergebnisse |
| Spiele | Komplexe Ereignisse |
| Unterricht | Menschliches Verhalten und subjektive Wahrscheinlichkeit |
| Qualitätskontrolle und Produkttests | Physikalische und natürliche Prozesse |
| Simulation und Modellierung | Abhängige Ereignisse |
| Entscheidungsfindung | Große Stichproben |
Häufig gestellte Fragen
Ein Laplace Experiment ist ein Zufallsexperiment, bei dem alle Ergebnisse über die gleiche Wahrscheinlichkeit verfügen.
Beispiele für ein Laplace Experiment sind ein Münzwurf, Würfeln, Roulette oder Lotto.
Im Gegensatz zu anderen Zufallsexperimenten treten bei einem Laplace Experiment alle Ergebnisse in der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. Bei anderen Zufallsexperimenten können die Ergebnisse hingegen unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten aufweisen.
Die Formel für Laplace Experimente lautet: die Anzahl der günstigen Ergebnisse geteilt durch die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse. Das Ergebnis dieser Rechnung gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit die günstigen Ergebnisse auftreten.
