Für die Begutachtung und Anfertigung von Statistiken oder auch der Berechnung verschiedener Lageparameter in wissenschaftlichen Arbeiten werden diverse Verfahren benötigt. Neben Median, Modus und arithmetischem Mittel gibt es auch noch das geometrische Mittel, um komplexe Sachverhalte übersichtlich darzustellen. Was man darunter versteht und wie man es berechnet, wird im Folgenden anhand von Beispielen erklärt.
Geometrisches Mittel „einfach erklärt“
Das geometrische Mittel ist ein Mittelwert oder Durchschnittswert, der die durchschnittliche proportionale Veränderung oder die mittlere Wachstumsrate bestimmt. Essenziell ist hierbei, dass alle Zahlen positiv sind.
Geometrisches Mittel: Definition
Das geometrische Mittel, oder auch mittlere Proportionale, ist ein Durchschnittswert aus der deskriptiven Statistik. Es eignet sich für die Bestimmung von mittleren Wachstumsraten und Verhältnissen, da es die proportionalen Veränderungen beschreibt.
Im Gegensatz zum arithmetischen Mittel, das auf Addition und Division basiert, nutzt das geometrische Mittel die multiplikative Natur der Werte. Dies macht es zu einem bedeutsamen Lageparameter, insbesondere in Bereichen wie Finanzwesen, Biologie und Wirtschaft, wo Wachstum und Veränderung über bestimmte Zeiträume analysiert werden.
Anwendung
Das geometrische Mittel gehört zu den Mittelwerten und wird bei der Berechnung von prozentualen Veränderungen verwendet. In der Praxis wird das geometrische Mittel etwa in folgenden Bereichen angewendet:
- Finanzen: Berechnung der durchschnittlichen Wachstumsrate von Investitionen oder Renditen
- Wirtschaft: Berechnung der durchschnittlichen Inflationsrate
- Investmentfonds: Berechnung der durchschnittlichen jährlichen Wachstumsrate
- Biologie/Medizin: Vergleich von Wachstumsraten von Populationen, Keimen oder Zellen
- Demografie: Berechnung der durchschnittlichen Wachstumsrate einer Bevölkerung
- Epidemiologie: Analyse des Wachstums von Infektionsraten
- Landwirtschaft: Ermittlung der durchschnittlichen Erträge verschiedener Anbaumethoden
- Marketing: Berechnung der mittleren Wachstumsrate von Conversion Rates oder Click-Through-Rates
Aufgrund der Beispiele aus diversen Anwendungsgebieten kannst du bereits erkennen, dass das geometrische Mittel sowohl in der Statistik als auch in der Praxis eine essentielle Funktion einnimmt. Diese Relevanz ergibt sich daraus, dass das geometrische Mittel die durchschnittliche positive Veränderung von proportionalen Veränderungen bestimmt.
Formel und Berechnung
Das geometrische Mittel wird mithilfe der folgenden Formel berechnet:
Formel: Geometrisches Mittel
n= Gesamtzahl aller Werte
x1 – xn = Werte der Datenmenge
Wichtig: x ≠ 0 und x = positiv
Du kannst bereits erkennen, dass sich die Formel des geometrischen Mittels aus einer Multiplikation ergibt. Im Gegensatz dazu basiert das arithmetische Mittel auf einer Addition und Division.
Formel: Arithmetisches Mittel
n= Gesamtzahl aller Werte
x1 – xn = Werte der Datenmenge
Wichtig: x ≠ 0 und x = positiv
Die Berechnung des geometrischen Mittelwerts ist hierbei ganz einfach:
- Als Erstes werden alle Zahlen miteinander multipliziert
- Aus dem multiplizierten Ergebnis wird nun die n-te Wurzel gezogen, wobei n die Anzahl der Werte ist
Negative Zahlen
Bei der Berechnung des geometrischen Mittels müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
- Kein Ergebnis darf negativ sein
- Kein Ergebnis darf 0 sein
Durch das Verwenden positiver Zahlen wird ein negatives Vorzeichen unter der Wurzel vermieden. Durch das Vermeiden der Null wird vermieden, dass die gesamte Multiplikation Null ergibt.
Beide Voraussetzungen ergeben sich daraus, dass hierbei mit einer Multiplikation gearbeiet wird.
Gewogenes geometrisches Mittel
Beim gewogenen geometrischen Mittel wird bestimmten Werten mehr Bedeutung (Gewichtung) zugewiesen als anderen. Dabei wird die absolute Häufigkeit der Werte als Exponent in der Formel ergänzt:
Formel: Gewogenes geometrisches Mittel
Das gewogene geometrische Mittel ergänzt die absolute Häufigkeit der Werte in der Formel und stellt diese als Exponent dar. Dabei werden hierbei anfänglich die Exponenten aufgelöst, dann die Multiplikation durchgeführt und letztlich die Wurzel gezogen.
So können bestimmte Werte eine höhere Gewichtung zugewiesen bekommen, die die Berechnung des geometrischen Mittels beeinflusst.
Geometrisches Mittel: ein Beispiel
Die folgenden Beispiele sollen die Berechnung des geometrischen Mittels berechnen:
Die durchschnittliche Rendite aus fünf Jahren soll berechnet werden:
Jahr 1
20 %
Jahr 2
10 %
Jahr 3
– 15 %
Jahr 4
10 %
Jahr 5
15 %
Berechnung
Die durchschnittliche Rendite über fünf Jahre liegt bei ca. 7,25 %.
Die durchschnittliche Wachstumsrate einer Pflanze soll über drei Jahre bestimmt werden:
Jahr 1
80 %
Jahr 2
60 %
Jahr 3
10 %
Berechnung
Die durchschnittliche Wachstumsrate der Pflanze über drei Jahre liegt bei ca. 51,2 %.
Die durchschnittliche Inflationsrate in Deutschland soll über zehn Jahre bestimmt werden:
2014
0,91 %
2019
1,45 %
2015
0,51 %
2020
0,14 %
2016
0,49 %
2021
3,07 %
2017
1,51 %
2022
6,87 %
2018
1,73 %
2023
5,95 %
Berechnung
Die durchschnittliche Steigerung der Inflationsrate über die letzten zehn Jahre liegt bei ca. 2,08 %.
Geometrisches Mittel mit Excel berechnen
Da gerade bei großen Datensätzen die Berechnungen dieses Mittels oft länger dauern können, ist es hilfreich zu wissen, wie man diese mithilfe einer Excel-Tabelle ausrechnen kann.
- Trage deine Werte in einzelne Zellen ein
- Klicke auf eine leere Zelle und „=GEOMITTEL(Zelle:Zelle)“
- Die Formel kann das geometrische Mittel für 2 bis 256 Werte berechnen
Häufig gestellte Fragen
Das geometrische Mittel ist ein Lageparameter und beschreibt die durchschnittliche proportionale Veränderung oder Wachstumsraten.
Das arithmetische Mittel wird bei additiven Daten verwendet, während das geometrische Mittel für multiplikative Daten, insbesondere Wachstumsraten und Verhältnissen, verwendet wird.
Das geometrische Mittel ist stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel. Der Hauptunterschied besteht darin, dass das arithmetische Mittel für „normale“ Durchschnittsberechnungen und das geometrische für durchschnittliche proportionale Veränderungen verwendet wird.
Das geometrische Mittel wird berechnet, indem du alle Werte miteinander multiplizierst und dann die n-te Wurzel ziehst.
