Die Wahrscheinlichkeitsrechnung wird in diversen Themenbereichen angewandt, die von den Fachbereichen der Mathematik bis zu Themen des alltäglichen Lebens reichen. Darunter existieren im Bereich der Statistik diverse Modelle, wozu auch das Urnenmodell gehört. Was es mit diesem auf sich hat, wozu es dient und welche Berechnungen damit möglich sind, wird im folgenden Beitrag erklärt.
Inhaltsverzeichnis
- 1 Urnenmodell „einfach erklärt“
- 2 Definition: Urnenmodell
- 3 Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
- 4 Urnenmodell: Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge
- 5 Urnenmodell: Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge
- 6 Urnenmodell: Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge
- 7 Urnenmodell: Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge
- 8 Zusammenfassung der Formeln
- 9 Häufig gestellte Fragen
Urnenmodell „einfach erklärt“
Das Urnenmodell ist ein theoretisches Konstrukt aus der Statistik, wobei aus einem Behältnis (z. B. Urne) gleich große Kugeln gezogen werden, die sich nur durch ihre Farbe unterscheiden. Es gibt vier verschiedene Varianten des Urnenmodells, denen unterschiedliche Berechnungen zugrunde liegen.
Definition: Urnenmodell
Das Urnenmodell ist ein einfaches mathematisches Wahrscheinlichkeitsmodell, welches dabei hilft, Zufallsereignisse zu beschreiben und vorherzusagen. Es basiert auf der Vorstellung, dass Objekte (meist Kugeln) in einer Urne liegen und nach bestimmten Regeln gezogen werden. Dabei wird grundsätzlich unterschieden zwischen:
- Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge
- Ziehen ohne Zurücklegen und mit Reihenfolge
- Ziehen mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge
- Ziehen mit Zurücklegen und mit Reihenfolge
Ziel des Urnenmodells ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten, unter Beachtung der vorgegebenen Regeln, für das Ziehen bestimmter Kugeln. Angewendet lassen sich so Wahrscheinlichkeiten für Situationen aus der echten Welt berechnen.
Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
Um die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie zu erläutern, stell dir einen Münzwurf vor:
Hierbei gibt es zwei mögliche Ausgänge: Kopf oder Zahl. Beide Möglichkeiten besitzen eine Wahrscheinlichkeit von 50 %, wenn du die Münze wirfst. Hierbei handelt es sich um ein einstufiges Zufallsexperiment.
Der Begriff „Wahrscheinlichkeitstheorie“ ist nur ein anderer Begriff für die Wahrscheinlichkeitsrechnung und wird auch „Probabilistik“ genannt. Insgesamt geht es immer darum, wie wahrscheinlich ein Ergebnis in einer bestimmten Situation ist.
Wahrscheinlichkeitsmodelle sind dabei ein fundamentaler Bestandteil der Statistik und spielen eine entscheidende Rolle bei der Analyse von Unsicherheit und Zufallsphänomenen. Das Urnenmodell wird als ein gedankliches Modell zur Interpretation praktischer Aufgaben genutzt.
Um Wahrscheinlichkeiten anschaulicher darzustellen, bietet sich das Baumdiagramm an.
Urnenmodell: Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge
Bei einem Urnenmodell mit N-Kugeln bedeutet das, dass die gezogene Kugel nicht wieder zurückgelegt wird und somit „draußen“ bleibt. Bei dieser Variante ändert sich mit jedem Ziehen die Wahrscheinlichkeit, mit der eine bestimmte Kugelsorte gezogen wird.
Berechnungsformel
- N = Kugeln in der Urne
- k = Anzahl an Ziehungen
- Weil die Kugeln nicht zurückgelegt werden, muss gelten: k ≤ N
Die Anzahl der Möglichkeiten ergibt sich dann durch den Binomialkoeffizienten.
Formel: Binomialkoeffizient
Die Verwendung von Mengenklammern symbolisiert, dass die Reihenfolge keine Rolle spielt. Daraus lässt sich die Formel für das Ziehen einer Kugel beim Urnenmodell ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge ableiten.
Fallbeispiel
Wir ziehen zweimal aus einer Urne mit 4 Kugeln (2 rote und 2 schwarze Kugeln) ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Wir möchten herausfinden, wie viele Möglichkeiten es gibt, die Kugeln zu ziehen.
Beispiel
Es gibt insgesamt 6 Möglichkeiten, um die Kugeln zu ziehen, sofern die Reihenfolge nicht beachtet wird und die Kugeln nicht zurückgelegt werden.
Urnenmodell: Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge
Die zweite Variante des Urnenmodells bezeichnet das Ziehen aus einer Urne ohne Zurücklegen, jedoch mit Beachtung der Reihenfolge.
Auch hierbei steht N für die Anzahl der Kugeln und k für die Anzahl an Ziehungen.
Formel: Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge
Fallbeispiel
Wir verwenden erneut die Urne mit 2 roten Kugeln und 2 schwarzen Kugeln und ziehen zweimal aus dieser Urne ohne Zurücklegen, aber mit Beachtung der Reihenfolge.
Beispiel
Beim zweimaligen Ziehen aus der Urne mit zwei roten und zwei schwarzen Kugeln bestehen 12 Möglichkeiten, wie die Kugeln gezogen werden können.
Urnenmodell: Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge
Bei dieser Variante des Urnenmodells wird nach jedem Zug die jeweilige Kugel zurück in die Urne gelegt. Dabei bleibt die Anzahl der Kugeln bei jedem Zug gleich.
Dieses Modell ist auch unter dem Namen Variation mit Wiederholung bekannt. Um die Möglichkeiten des Ziehens zu berechnen, benötigst du eine abgewandelte Form des Binomialkoeffizienten:
Formel: Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge
Fallbeispiel
Wir verwenden erneut die Urne mit zwei roten und zwei schwarzen Kugeln. Dabei wird dieses Mal die gezogene Kugel zurückgelegt, die Reihenfolge der Ziehungen jedoch nicht beachtet. Es gilt auch hierbei N als die Anzahl der Kugeln und k als die Anzahl der Ziehungen.
Beispiel
Beim Ziehen aus der Urne mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge existieren 10 mögliche Resultate, um die Kugel aus der Urne zu ziehen.
Urnenmodell: Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge
Die letzte Variante des Urnenmodells beschreibt das Ziehen von Kugeln mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Dieses Modell ist auch als Variation mit Wiederholung bekannt und wird wie folgt berechnet:
- N = Kugeln in der Urne
- k = Anzahl der Ziehungen
Formel: Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge
Fallbeispiel
Auch für die Variante mit Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge verwenden wir erneut die Urne mit zwei schwarzen und zwei roten Kugeln, um die Möglichkeiten zu berechnen, die bei einer zweimaligen Ziehung resultieren können.
Beispiel
Es existieren 16 Möglichkeiten, um die Kugeln mit Zurücklegen und unter Beachtung der Reihenfolge zu ziehen.
Zusammenfassung der Formeln
Die folgende Tabelle bietet dir eine Übersicht über alle Formeln zur Berechnung der möglichen Ergebnisse bei den verschiedenen Varianten des Urnenmodells.
| Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge | |
| Ziehen ohne Zurücklegen mit Reihenfolge | |
| Ziehen mit Zurücklegen ohne Reihenfolge | |
| Ziehen mit Zurücklegen mit Reihenfolge |
Häufig gestellte Fragen
Das Urnenmodell ist ein Modell in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, das verwendet wird, um Zufallsexperimente zu beschreiben, bei denen Objekte (z. B. Kugeln) aus einer Menge (z. B. Urne) gezogen werden. Dabei kann das Urnenmodell verschiedene Variationen darstellen, wobei jeweils das Zurücklegen und die Reihenfolge der gezogenen Kugeln variiert werden.
Es gibt insgesamt vier verschiedene Varianten des Urnenmodells. Diese lassen sich wie folgt unterscheiden:
1. Ziehen mit Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
2. Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
3. Ziehen ohne Zurücklegen mit Beachtung der Reihenfolge
4. Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge
Beim Urnenmodell bedeutet das Ziehen mit Zurücklegen, dass die gezogene Kugel zurück in die Urne gelegt wird, wodurch die Anzahl der Kugeln bei jedem Ziehen gleich bleibt.
Das Ziehen unter Beachtung der Reihenfolge bezeichnet beim Urnenmodell, dass die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, beachtet wird. Somit ergeben sich abweichende mögliche Resultate als bei einer Nichtbeachtung der Reihenfolge.
